Posted: 10 Nov 2015 10:58 AM PST
Uma dos conteúdos mais cobrados de matemática, tanto no Enem como em outros vestibulares, é a
progressão aritmética (PA). Então, que tal entender direitinho o que é uma P.A?
Progressão Aritmética (PA) nada mais e
do que uma sequência de números (a1, a2, a3…an)
que segue uma “regra” muito simples: Qualquer termo (ou elemento) da sequência,
diminuído do termo anterior, terá sempre o mesmo resultado, chamado de razão
(r). Vamos dar um exemplo numérico para facilitar:
Imagine a seguinte sequência com seis
termos:
(2, 5, 8, 11, 14, 17)
a6 – a5
= 17 – 14 = 3
a5 – a4
= 14 – 11 = 3
a4 – a3
= 11 – 8 = 3
a3 – a2
= 8 – 5 = 3
a2 – a1
= 5 – 2 = 3
Ou seja, a sequência apresentada acima
é uma P.A. Nela, temos 6 termos com os seguintes valores: a1=2,
a2=5, a3=8, a4=11, a5=14
e a6= 17. Além disso, a razão r desta PA é 3.
Após essa análise, percebemos uma
propriedade que serve para qualquer P.A:
a2 = a1
+ r
a3 = a2
+ r = a1 +2r
a4 = a3
+ r = a1 + 3r
a5 = a4
+ r = a1 + 4r
a6 = a5
+ r = a1 + 5r
Generalizando, teremos:
an = a1
+ (n-1)r
Essa é a conhecida fórmula do termo
geral da P.A. Com ela, podemos descobrir qualquer termo de qualquer PA
apenas sabendo o primeiro termo (a1) e a razão (r). Imagine por exemplo uma PA
com a1 = 3 e r = 4. Qual seria o décimo termo (ou a10) da
sequência? Simples, basta aplicar a fórmula do termo geral que deduzimos
anteriormente:
a10 = a1
+ 9r
a10 = 3 +
9.4
a10 = 39
Fácil não é? Aliás, dependendo da
razão, podemos ter três tipos de P.A:
- P.A crescente: r > 0. Seus termos estarão em ordem crescente.
- P.A constate: r = 0. Seus termos serão todos iguais.
- P.A decrescente: r < 0. Seus termos estarão em ordem decrescente
Caso tenha entendido a dedução da
fórmula geral, o exemplo e os três tipos possíveis de PA, podemos falar um
pouco sobre a soma dessa sequência. Vamos lá?
Soma da PA
Imagine uma P.A com n termos. Uma
característica interessante à qualquer P.A é a seguinte:
a1 + an
= a2 +a(n-1) = a3 + a(n-2) … e assim por diante!
Não acredita? Vamos utilizar a mesma PA
do começo do artigo (2, 5, 8, 11, 14, 17). Como já vimos, nela temos seis
termos. Faça as seguintes contas:
a1 +a6
= 2 + 17 = ?
a2 +a5
= 5 + 14 = ?
a3 +a4
= 8 + 11 = ?
Você acha coincidência todas essas
contas darem 19? Claro que não! Inclusive, através dessa propriedade, podemos
deduzir a formula da soma de uma P.A de n termos (Sn)! Basta pegar a
soma de um par (a1 + an) e multiplicar pela quantidade de
pares (n/2). Assim, teremos:
Sn = (a1+an).
n/2
Ou seja, tendo apenas o primeiro termo
(a1), o enésimo termo e o número de termos de uma P.A, podemos
calcular a soma de todos seus elementos! Vamos testar
Qual a soma da P.A usada de exemplo
neste artigo ? Chamaremos essa soma de Sn. Primeiro, vamos fazer da
maneira tradicional:
Sn = a1
+ a2 + a3 + a4 + a5 + a6
Sn = 2 + 5
+ 8 + 11 + 14 + 17
Sn = 57
Agora, vamos aplicar a fórmula:
Sn = (a1+an). n/2
Sn = (2+7). 6/2
Sn = 19. 3
Sn = 57
Percebeu como a aplicação da fórmula da
soma de uma P.A é eficiente?
Resumindo: Progressão Aritmética (P.A)
é uma sequência numérica que o próximo termo sempre é o anterior acrescido da
razão. Qualquer termo da P.A pode ser calculado com a seguinte fórmula:
an = a1
+ (n-1)r
Já a soma da P.A, pode ser calculada da
seguinte maneira:
Sn = (a1+an).
n/2
Inclusive, demonstramos e demos
exemplos da aplicação das duas fórmulas.
E aí, gostou?
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